Släktmatematik

Jag har, liksom var och en av oss, 2 föräldrar, 4 far- och mor-föräldrar, och så vidare med en fördubbling i varje generation:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, …
10 generationer tillbaka blir detta drygt tusen (1024) förfäder, 20 generationer tillbaka drygt en miljon (1 048 576), och 30 generationer tillbaka drygt en miljard (1 073 741 824).
Så många människor fanns det inte på hela jorden på den tiden, så det är uppenbart att inte alla dessa förfäder är olika personer; många (tusentals eller kanske miljontals) ingiften har skett sedan dess bland mina förfäder: I vissa fall har kusiner eller andra nära släktingar gift sig med varandra,1 men de allra flesta av dessa ”ingiften” var säkert mellan personer som var släkt på så långt håll, kanske 10-20 generationer, att de inte hade en aning om släktskapen.

Vi kan räkna i år istället för generationer. Man brukar räkna med 30 år per generation i genomsnitt.2 Siffrorna ovan kan alltså översättas till att var och en har ca 1 000 förfäder för 300 år sedan, 1 000 000 för 600 år sedan, och 1 000 000 000 för 900 år sedan. (Med dubbelräkning av dem som är förfäder på flera grenar.) Ett annat sätt att uttrycka detta är att antalet förfäder blir ca 10 gånger större för varje 100 år bakåt i tiden.3 T.ex. har en nu levande person ca 100 000 förfäder som levde för 500 år sedan, på Gustav Vasas tid.

En del av dessa förfäder levde säkert utomlands, men om som i mitt fall familjen inte har invandrat på senare tid så kan man utgå från att de flesta bodde i Sverige. En svårare fråga är hur spridda de var, geografiskt och socialt. En rimlig gissning är nog att även om de flesta gift sig med någon i samma by eller i närheten, och i ungefär samma sociala ställning, så har det ändå varit tillräcklig rörlighet för att en viss persons 1 048 576 förfäder 20 generationer tillbaka ska vara spridda över en stor del av landet, och över olika samhällsklasser. Huruvida detta i allmänhet gäller även för de 1024 förfäderna 10 generationer tillbaka vågar jag inte gissa.4

Vänder vi på perspektivet och går framåt från en person i forntiden så gäller ungefär detsamma i genomsnitt, men variationerna är större. Om befolkningen vore konstant över tiden, så följer matematiskt en symmetri: om varje person nu har i genomsnitt ett antal X förfäder vid en bestämd tidpunkt i det förflutna, så har varje person som levde då i genomsnitt lika många ättlingar X nu. T.ex. skulle en person på Gustav Vasas tid alltså ha i genomsnitt 100 000 ättlingar nu. Nu har befolkningen vuxit sedan Gustav Vasas tid med en faktor ca 20, och därför är genomsnittet snarare 20 gånger större, alltså runt 2 000 000 ättlingar nu.5 (Återigen är detta inte 2 000 000 olika personer, eftersom många ättlingar är ättlingar på flera grenar p.g.a. ingiften.)
På samma sätt ser vi att en person i genomsnitt får drygt 2 barn, 4 barnbarn, osv., med en fördubbling för varje generation.6
Detta är genomsnitt, och det är uppenbart att variationerna är stora mellan olika mellan olika personer som levde vid samma tid. Bland annat är det ju många som även om de blev vuxna aldrig fick några barn, medan andra fick barn men inga barnbarn. Och en del fick ett barn och andra 10 eller fler. Men om en person fick ättlingar som inte dog ut på en eller ett fåtal generationer, så blev antalet ättlingar med stor sannolikhet snart rätt stort, och sedan fortsätter antalet att öka för all framtid.7 Och även om det är en stor variation på antalet barn i enskilda familjer, så jämnar det ut sig när vi kommer upp i senare generationer med stora antal familjer.8
Vi kan alltså dra slutsatsen att en person på Gustav Vasas tid idag troligen har antingen inga ättlingar alls, eller också en eller några miljoner. Här har vi dubbelräknat dem som är ättlingar på flera sätt, men om vi dessutom antar att ättlingarna fått stor social och geografisk spridning så borde antalet olika personer vara nästan lika stort.9 Det verkar alltså rimligt att Gustav Vasa, liksom de flesta andra personer på hans tid (med undantag för barnlösa) är förfader till en avsevärd del av dagens befolkning, men ändå långtifrån majoriteten.10
Går vi 100 år eller mer längre tillbaka på medeltiden så kan vi på motsvarande sätt se att en person som levde då och fick barn och barnbarn troligen är förfader till nästan alla som nu lever i Sverige, förutom sentida invandrarfamiljer, och troligen på många olika grenar. Om det går att hitta och dokumentera någon av dessa grenar är en helt annan sak.11


Noter:

  1. Det närmaste exemplet bland mina förfäder är 5 generationer tillbaka: min morfars mormors föräldrar, Wilhelm Fogelmarck och Sofie Göransson, var (halv)kusiner (se Elfbrink, Elfstrand och Göransson).
  2. För en enda generation är det ju stor individuell variation, men variationerna tenderar att jämnas ut när man tar medelvärden över flera generationer eller flera släktgrenar. (Ett exempel på vad vi matematiker kallar ”Stora talens lag”.) 30 år per generation i genomsnitt stämmer bra med verkligheten.
    Ett exempel: Jag har, enligt ovan, 32 förfäder 5 generationer tillbaka. Av dessa vet jag födelseåret för 30 stycken. Födelseåren varierar mellan 1780 och 1832, dvs mellan 123 och 175 år före mitt (1955), vilket ger mellan 25 och 35 år per generation. Medelvärdet är 1811, 144 år före mig, vilket ger 29 år per generation i genomsnitt.
  3. Jag förenklar lite i beräkningarna, men felen är betydelselösa. Jag har här räknat som om alla föräldrar är 30 år när barnen föds. Om man istället t.ex. antar att föräldrarnas ålder varierar slumpmässigt mellan 20 och 40 år (likformigt fördelat) så ger en noggrannare beräkning att antalet förfäder växer med en faktor 10,4 på 100 år. Skillnaden är försumbar eftersom vi ändå bara gör grova uppskattningar.
  4. I mitt fall är det god spridning även på 10 generationer enligt vad jag vet om många av förfäderna (vilket delvis framgår av denna webbplats). Men min släkt är nog inte helt typisk.
  5. Officiell befolkningsstatistik finns sedan 1749, då Tabellverket (numera Statistiska Centralbyrån) grundades; då var befolkningen inom Sveriges nuvarande gränser (alltså med Finland borträknat) 1,8 miljoner, se Sveriges folkmängd från 1749 och fram till idag. Idag är befolkningen 10 miljoner; den har alltså ökat med en faktor 5,5 på 269 år, vilket är en ökning med i genomsnitt 0,6% per år.
    För äldre tider finns mer eller mindre osäkra uppskattningar. En uppskattning är ca 400 000 år 1000, vilket under medeltiden först steg till drygt 1 miljon i början av 1300-talet, för att vid Digerdöden sjunka till mindre än hälften, varefter en tillväxt skett med i genomsnitt 0,4-0,5% per år. På Gustav Vasas tid var befolkningen ca 500 000. Se t.ex. Befolkningen i Sverige inom nuvarande gränser för perioden 4000 f.Kr.-2004 e.Kr.
  6. På grund av befolkningstillväxten snarare 2,4, 5,7, 13,7, osv, vid en tillväxt på 0,6% per år. Vi bortser här från utvandring och invandring, som naturligtvis alltid har funnits, men inte påverkar slutsatserna i stort.
  7. Åtminstone tills nästa stora naturkatastrof eller världskrig.
  8. Stora talens lag igen.
  9. Eller säg åtminstone hälften så stort. Här är det mest en gissning, eftersom detta beror på hur stor den sociala och geografiska rörligheten varit.
  10. Just Gustav Vasas ättlingar har utretts av släktforskaren Per Andersson, som lyckats spåra och dokumentera ca 250 000 av dem. (Jag finns inte med bland dem, men min fru Julie.) Antalet ättlingar som han hittat stämmer alltså hyfsat med de grova beräkningarna ovan, vilket tyder på att antagandet om tillräcklig social och geografisk rörlighet stämmer, och att befolkningen blandas ordentligt på 500 år. (Dessutom finns det nog ännu okända ättlingar till Gustav Vasa som han inte lyckats hitta p.g.a. brist på dokument.)
  11. Detta är inga originella tankar, även om jag gjort några beräkningar ovan själv. Ämnet har behandlats även i vetenskapliga artiklar, t.ex. (med siffror för England) av den matematiske demografen Kenneth Wachter i Ancestors at the Norman conquest, Statistical Studies of Historical Social Structure, Academic Press, New York, 1978, sid 153-161. En färsk artikel jag hittat på nätet i samma ämne är How many ancestors does a Briton have? av Ian Heath. Även om dessa artiklar är noggrannare och mer detaljerade än analysen ovan så är innehållet och slutsatserna liknande, och inte heller de behandlar frågan om social och geografisk rörlighet ordentligt, utan de antar helt enkelt att rörligheten är så stor att befolkningen blandas ordentligt. Detta och andra förenklingar gör att resultaten knappast är mer precisa än vad jag kommer fram till ovan. (T.ex. är en av Wachters slutsatser att ungefär 85% av (den vuxna) populationen på 1000-talet är förfäder till en person som lever idag; detta ska tas med en stor nypa salt, och beror snarare på hans förenklingar. För att tala fackspråk så innebär hans förenklingar matematiskt (fast han inte säger det explicit) att han studerar en förgreningsprocess med ett barnantal som är Poissonfördelat med väntevärde 2; en mer realistisk fördelning för antalet barn skulle ge ett annat svar.)

Om släkten